ĐỀ VÀ LỜI GIẢI KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT HÀ NỘI 2008-2009

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI

(2008-2009) – ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: Toán

Ngày thi: 18 – 6 – 2008

Bài 1 ( 2,5 điểm )

Cho biểu thức: P=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right):\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}

1) Rút gọn P

2) Tìm giá trị của P khi x = 4

3) Tìm x để P=\dfrac{13}{3}

Bài 2 ( 2,5 điểm )

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tháng tjhứ hai tổ I vươt mức 15% và tổ II vượt mức 10% so với tháng thứ nhất, vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

Bài 3 ( 3,5 điểm )

Cho parabol (P): y=\dfrac{1}{4}x^2 và đường thẳng (d): y = mx + 1

1) Chứng minh với mọi giá trị cả m đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.

2) Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB theo m (O là gốc tọa độ)

Bài IV (3,5 điểm )

Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và E là điểm bất kì trên đường tròn đó (E khác A và B). Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K.

1) Chứng minh tam giác KAF đồng dạng với tam giác KEA

2) Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF với OE, chứng minh đường tròn (I) bán kính IE tiếp xúc với đường tròn (O) tại E và tiếp xúc với đường thẳng AB tại F.

3) Chứng minh MN // AB, trong đó M và N lần lượt là giao điểm thứ hai của AE, BE với đường tròn (I).

4) Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên đường tròn (O), với P là giao điểm của NF và AK; Q là giao điểm của MF và BK.

Bài V ( 0,5 điểm )

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, biết:

A=\left(x-1\right)^4+\left(x-3\right)^4+6\left(x-1\right)^2\left(x-3\right)^2

LỜI GIẢI

Bài 1. Cho biểu thức P=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right):\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}

a) Rút gọn P

P=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right):\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}+1+x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}:\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}

P=\dfrac{\sqrt{x}+1+x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}:\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\sqrt{x}+1+x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}.\left(\sqrt{x}+1\right)

P=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}

b) Tính giá trị của P khi x = 4.

Với x = 4 thì P=\dfrac{4+\sqrt{4}+1}{\sqrt{4}}=\dfrac{7}{2}

c) Tìm x để P=\dfrac{13}{3}

ĐKXĐ: x > 0

P=\dfrac{13}{3} \leftrightarrow \dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\dfrac{13}{3} \leftrightarrow 3\left(x+\sqrt{x}+1\right)=13\sqrt{x} \leftrightarrow 3x-10\sqrt{x}+3=0(1)

Đặt \sqrt{x}=t; điều kiện t > 0.

Phương trình (1) \leftrightarrow 3t^2-10t+3=0;

Giải phương trình ta được t_1=3 hoặc t_2=\dfrac{1}{3} ( thỏa mãn điều kiện )

+) Với t_1=3 \leftrightarrow \sqrt{x}=3 \leftrightarrow x = 9

+) Với t_2=\dfrac{1}{3} \leftrightarrow \sqrt{x}=\dfrac{1}{3} \leftrightarrow x=\dfrac{1}{9}

Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Gọi số chi tiết máy tổ thứ nhất làm được trong tháng đầu là x ( x \in N*; x<900; đơn vị: chi tiết máy)

Số chi tiết máy tổ thứ hai làm được trong tháng đầu là 900-x (chi tiết máy)

Tháng thứ hai tổ I làm vượt mức 15% so với tháng thứ nhất nên tổ I làm được

115% . x=1,15. x ( chi tiết máy )

Tháng thứ hai tổ II làm vượt mức 10% so với tháng thứ nhất nên tổ II làm được 110%(900-x)=1, 1(900-x) (chi tiết máy)

Tháng thứ hai cả hai tổ làm được 1010 chi tiết máy nên ta có phương trình:

1,15. x + 1,1. (900-x) = 1010

\leftrightarrow 1,15.x + 1,1.900 – 1,1.x = 1010

\leftrightarrow 0,05.x = 20

\leftrightarrow x = 400 ( thỏa mãn điều kiện )

Vậy tháng thứ nhất tổ I sản xuất được 400 chi tiết máy tổ II sản xuất được 900-400=500 chi tiết máy.

Bài 3:

Cho Parabol (P) y=\dfrac{1}{4}x^2 và đường thẳng (d) y=mx+1

1) Xét phương trình hoành độ giao điểm (d) và (P):

\dfrac{1}{4}x^2=mx+1 \leftrightarrow x^2-4mx-4=0 (*)

\Delta=\left(4m\right)^2+16=16m^2+16>0 với mọi m

\leftrightarrow (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m \leftrightarrow (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.

2) Gọi A,B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB theo m (O là gốc tọa độ)

Vì phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt trái dấu nên đồ thị hai hàm số có dạng trên.

Gọi tọa độ A(x_1,x_2); B(x_2; y_2) giả sử x_1<0<x_2

Gọi hình chiếu vuông góc của A, B lên Ox lần lượt là C, D.

Ta có: OC=|x_2|=x_2; OD=|x_1|=latex –x_1$;

CD = OC + OD = x_2-x_1

BC = |y_2|=\dfrac{1}{4}x_2^2; AD=|y_1|=\dfrac{1}{4}x_1^2

Ta có

S_{OAB}=S_{ABCD}-S_{OBC}-S_{OAD}

S_{OAB}=\dfrac{\left(AD+BC\right)CD}{2}-\dfrac{1}{2}OC.BC-\dfrac{1}{2}OD.AD

S_{OAB}=\dfrac{\left(\dfrac{1}{4}x_2^2+\dfrac{1}{4}x_1^2\right)\left(x_2-x_1\right)}{2}-\dfrac{1}{2}x_2.\dfrac{1}{4}x_2^2-\dfrac{1}{2}\left(-x_1\right).\dfrac{1}{4}x_1^2

S_{OAB}=\dfrac{1}{8}\left(x_2^2+x_1^2\right)\left(x_2-x_1\right)-\dfrac{1}{8}x_2^3+\dfrac{1}{8}x_1^3=\dfrac{1}{8}x_1^2.x_2-\dfrac{1}{8}x_2^2x^1

S_{OAB}=\dfrac{1}{8}x_1x_2\left(x_1-x_2\right)

Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (*) ta có:

x_1+x_2=4m; x_1.x_2=-4

\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=16m^2+16=16\left(m^2+1\right)

Ta có:

|x_1-x_2|=\sqrt{16\left(m^2+1\right)}=4\sqrt{m^2+1}

x_1-x_2=-4\sqrt{m^2+1} (x_1<x_2)

S_{OAB}=\dfrac{1}{8}x_1x_2\left(x_1-x_2\right)=\dfrac{1}{8}\left(-4\right).\left(-4\sqrt{m^2+1}\right)

S_{OAB}=2\sqrt{m^2+1}

Bài 4

a) Chứng minh \bigtriangleup{KAF} đồng dạng với \bigtriangleup{KEA}

Xét (O) có \widehat{AEK}=\widehat{KEB} (EK là phân giác \widehat{E})

Suy ra: \widetilde{AK}=\widetilde{KB} ( hai cung chắn hai góc nội tiếp bằng nhau)

Suy ra: \widehat{E_1}=\widehat{A_1} ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét tam giác KAF và tam giác KEA:

\widehat{K} chung

\widehat{E_1}=\widehat{A_1} ( chứng minh trên)

\rightarrow \bigtriangleup{KAF} \backsim \bigtriangleup{KEA} (g-g)

6 phản hồi

  1. cho hỏi bạn dùng phầm mềm gi để vẽ đồ thị ? ^^

  2. Mình dùng phần mền: Geometer’s Sketchpad (GSP 4.06) để vẽ đồ thị và vẽ hình.

  3. choa em xin cái link down được hok ạ :D?

  4. Mình tìm trên Google với từ khóa “phan men GSP” ở trang toanangiang.forumotion.com/forum. Bạn thử xem sao.

  5. cho em hoi lam the nao de down dc a. sao em ko down dc de thi ma chi dc dap an

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: