ĐỀ THI VÀO 10 TRƯỜNG ĐHKHTN – HÀ NỘI (2004-2005)

ĐỀ THI VÀO 10 TRƯỜNG ĐHKHTN – HÀ NỘI (2004-2005)

Ngày thứ nhất – lớp chuyên khoa học tự nhiên

Câu 1

Giải phương trình: |x+1|+|x-1|=1+|x^2-1|

Tìm nghiệm nguyên của hệ:

\left\{\begin{array}{c}{2y^2-x^2-xy+2y-2x=7}\\{x^3+y^3+x-y=8}\end{array}\right.

Câu 2:

Cho các số thực a và b thỏa mãn:

a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}

Hãy tính giá trị của biểu thức:

P=a^{2004}+b^{2004}

Câu 3:

Cho tam giác ABC có AB = 3cm, BC = 4cm, CA = 5cm. Đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác kể từ đỉnh B chia tam giác thành bốn phần. Hãy tính diện tích mỗi phần.

Câu 4:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại H ( H không trùng với tâm đường tròn). Gọi M và N lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống các đường thẳng AB và BC; P và Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MH và NH với các đường thẳng CD và DA. Chứng minh rằng đường thẳng PQ song song với đường thẳng AC và bốn điểm M, N, P, Q nằm trên cùng một đường tròn.

Câu 5:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Q=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x^{10}}{y^2}+\dfrac{y^{10}}{x^2}\right)+\dfrac{1}{4}\left(x^{16}+y^{16}\right)-\left(1+x^2y^2\right)^2

Ngày thứ hai – Chuyên toán tin

Câu 6:

Giải phương trình:

\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}=2

Câu 7:

Giải hệ phương trình:

\left\{\begin{array}{c}{(y+x)(x^2+y^2)=15}\\{(x-y)(x^2-y^2)=3}\end{array}\right.

Câu 8:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=\dfrac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}

Trong đó x, y là những số thực lớn hơn 1.

Câu 9:

Cho hình vuông ABCD và điểm M nằm trong hình vuông.

Tìm tất cả các vị trí của các điểm M sao cho \widehat{MAB}=\widehat{MBC}=\widehat{MCD}=\widehat{MDA}

Xét điểm M nằm trên đường chéo AC. Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ điểm M xuống cạnh AB và O là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng tỉ số \dfrac{OB}{CN} có giá trị không đổi khi M di chuyển trên đường chéo AC.

Với giả thiết M nằm trên đường chéo AC, xét các đường tròn \left(S_1\right) \left(S_2\right) có đường kính tương ứng là AM và CN. Hai tiếp tuyến chung của \left(S_1\right) \left(S_2\right) tiếp xúc với \left(S_2\right) tại P và Q. Chứng minh rằng đường thẳng PQ tiếp xúc với \left(S_1\right).

Câu 10:

Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt qua a và kí hiệu là [a]. Dãy các số x_0,x_1,x_2,…,x_n được xác định bởi công thức:

x_n=\left[\dfrac{n+1}{\sqrt{2}}\right]- \left[\dfrac{n}{\sqrt{2}}\right]

Hỏi trong 200 số x_0,x_1,x_2,…, x_n có bao nhiêu số khác 0? (Cho biết 1,41<\sqrt{2}<1,42)

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: