DẠNG BÀI RÚT GỌN TỪ ĐÊ THI VÀO TRƯỜNG CHU VĂN AN VÀ AMSTERDAM

DẠNG BÀI RÚT GỌN TỪ ĐÊ THI VÀO TRƯỜNG

CHU VĂN AN VÀ AMSTERDAM

1. Đề thi CVA& Amsterdam 1995 – 1996

Cho các biểu thức:

A=\dfrac{2x-3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}B=\dfrac{\sqrt{x^3}-\sqrt{x}+2x-2}{\sqrt{x}+2}

a) Rút gọn A và B. b) Tìm giá trị của x để A = B.

2. Đề thi CVA& Amsterdam 1996 – 1997

Cho biểu thức:

P=\dfrac{3a+\sqrt{9x}-3}{a+\sqrt{a}-2}-\dfrac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}-1}+\dfrac{1}{\sqrt{a}+2}-1

a) Rút gọn P. b) Tìm a để |P| = 1. c) Tìm các giá trị của a \in N sao cho P \in N.

3. Đề thi CVA& Amsterdam 1997 – 1998

Cho biểu thức:

P=\dfrac{3\left(x+\sqrt{x}-3\right)}{x+\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}

a) Rút gọn P. b) Tìm x để P<\dfrac{15}{4}.

4. Đề thi CVA& Amsterdam 1998 – 1999

Cho biểu thức:

P=\left(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{xy}+1}+\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{x}}{1-\sqrt{xy}}+1\right)\left(1-\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{x}}{\sqrt{xy}-1}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{xy}+1}\right)

a) Rút gọn P. b) Cho \dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}=6. Tìm giá trị lớn nhất của P.

5. Đề thi CVA& Amsterdam 1999 – 2000

Cho biểu thức:

P=\left(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right):\left(1-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)

a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0.

c) Với giá trị nào của x thì biểu thức \dfrac{1}{P} đạt giá trị nhỏ nhất.

6. Đề thi CVA& Amsterdam 2000 – 2001

Cho biểu thức:

P=\dfrac{2x+2}{\sqrt{x}}+\dfrac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\dfrac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}

a) Rút gọn P. b) So sánh P với 5.

c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh rằng: biểu thức \dfrac{8}{P} chỉ nhận đúng một giá trị nguyên.


7. Đề thi CVA& Amsterdam 2001 – 2002

Cho biểu thức:

P=\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{2-\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}\right):\left(2-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)

a) Rút gọn P. b) Tìm x để \dfrac{1}{P}\le -\dfrac{5}{2}.

8. Đề thi CVA& Amsterdam 2002 – 2003

Cho biểu thức:

P=\dfrac{\sqrt{x}+1}{x-1}-\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}

a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q=\dfrac{2}{P}+\sqrt{x}.

9. Đề thi CVA& Amsterdam 2003 – 2004

Cho biểu thức:

P=\dfrac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}

a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị lớn nhất của P.

c) Tìm x để biểu thức Q=\dfrac{2\sqrt{x}}{P} nhận giá trị là số nguyên.

10. Đề thi CVA& Amsterdam 2003 – 2004

Cho biểu thức:

P=\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right)\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}}{2}\right)^2

a) Rút gọn P. b) Tìm x để \dfrac{P}{\sqrt{x}}>2.

11. Đề thi CVA& Amsterdam 2005 – 2006

Cho biểu thức:

P=\dfrac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\dfrac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}+\dfrac{x+1}{\sqrt{x}}.

a) Rút gọn P.

b) Tìm x để P=\dfrac{9}{2}.

ĐỀ THI VÀO 10 TRƯỜNG ĐHKHTN – HÀ NỘI (2004-2005)

ĐỀ THI VÀO 10 TRƯỜNG ĐHKHTN – HÀ NỘI (2004-2005)

Ngày thứ nhất – lớp chuyên khoa học tự nhiên

Câu 1

Giải phương trình: |x+1|+|x-1|=1+|x^2-1|

Tìm nghiệm nguyên của hệ:

\left\{\begin{array}{c}{2y^2-x^2-xy+2y-2x=7}\\{x^3+y^3+x-y=8}\end{array}\right.

Câu 2:

Cho các số thực a và b thỏa mãn:

a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}

Hãy tính giá trị của biểu thức:

P=a^{2004}+b^{2004}

Câu 3:

Cho tam giác ABC có AB = 3cm, BC = 4cm, CA = 5cm. Đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác kể từ đỉnh B chia tam giác thành bốn phần. Hãy tính diện tích mỗi phần.

Câu 4:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại H ( H không trùng với tâm đường tròn). Gọi M và N lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống các đường thẳng AB và BC; P và Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MH và NH với các đường thẳng CD và DA. Chứng minh rằng đường thẳng PQ song song với đường thẳng AC và bốn điểm M, N, P, Q nằm trên cùng một đường tròn.

Câu 5:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Q=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x^{10}}{y^2}+\dfrac{y^{10}}{x^2}\right)+\dfrac{1}{4}\left(x^{16}+y^{16}\right)-\left(1+x^2y^2\right)^2

Ngày thứ hai – Chuyên toán tin

Câu 6:

Giải phương trình:

\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}=2

Câu 7:

Giải hệ phương trình:

\left\{\begin{array}{c}{(y+x)(x^2+y^2)=15}\\{(x-y)(x^2-y^2)=3}\end{array}\right.

Câu 8:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=\dfrac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}

Trong đó x, y là những số thực lớn hơn 1.

Câu 9:

Cho hình vuông ABCD và điểm M nằm trong hình vuông.

Tìm tất cả các vị trí của các điểm M sao cho \widehat{MAB}=\widehat{MBC}=\widehat{MCD}=\widehat{MDA}

Xét điểm M nằm trên đường chéo AC. Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ điểm M xuống cạnh AB và O là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng tỉ số \dfrac{OB}{CN} có giá trị không đổi khi M di chuyển trên đường chéo AC.

Với giả thiết M nằm trên đường chéo AC, xét các đường tròn \left(S_1\right) \left(S_2\right) có đường kính tương ứng là AM và CN. Hai tiếp tuyến chung của \left(S_1\right) \left(S_2\right) tiếp xúc với \left(S_2\right) tại P và Q. Chứng minh rằng đường thẳng PQ tiếp xúc với \left(S_1\right).

Câu 10:

Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt qua a và kí hiệu là [a]. Dãy các số x_0,x_1,x_2,…,x_n được xác định bởi công thức:

x_n=\left[\dfrac{n+1}{\sqrt{2}}\right]- \left[\dfrac{n}{\sqrt{2}}\right]

Hỏi trong 200 số x_0,x_1,x_2,…, x_n có bao nhiêu số khác 0? (Cho biết 1,41<\sqrt{2}<1,42)

ĐỀ THI VÀO 10 TRƯỜNG ĐHKHTN – HÀ NỘI (2003-2004)

ĐỀ THI VÀO 10 TRƯỜNG ĐHKHTN – HÀ NỘI (2003-2004)

Ngày thứ nhất – lớp chuyên khoa học tự nhiên

Câu 1 (2 điểm)

Giải phương trình:

\left(\sqrt{x+5}-\sqrt{x+2}\right)\left(1+\sqrt{x^2+7x+10}\right)=3

Câu 2 ( 2 điểm )

Giải hệ phương trình:

\left\{\begin{array}{c}{2x^3+3x^2y=5}\\{y^3+6xy^2=7}\end{array}\right.

Câu 3 ( 2 điểm)

Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức:

2y^2x+x+y+1=x^2+2y^2+xy

Câu 4 ( 3 điểm )

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R ( R là một độ dài cho trước). M, N là hai điểm trên nửa đường tròn (O) sao cho M thuộc cung AN và tổng các khoảng cách từ A, B đến đường thẳng MN bằng R\sqrt{3}

a/ Tính độ dài đoạn thẳng MN theo R.

b/ Gọi giao điểm của hai dây AN và BM là I, giao điểm của các đường thẳng AM và BN là K. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó theo R.

c/ Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác KAB theo R khi M, N thay đổi nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết bài toán.

Câu 5 ( 1 điểm)

Giả sử x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện: x+y+z+xy+yz+xz=6.

Chứng minh rằng: x^2+y^2+z^2\ge 3

Ngày thứ hai – Chuyên Toán Tin

Câu 6 ( 2 điểm )

Cho phương trình: x^4+2mx^2+4=0

Tìm giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x_1, x_2, x_3, x_4 thỏa mãn:

x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4=32

Câu 7 ( 2 điểm )

Giải hệ phương trình:

\left\{\begin{array}{c}{2x^2+xy-y^2-5x+y+2=0}\\{x^2+y^2+x+y-4=0}\end{array}\right.

Câu 8 ( 2 điểm )

Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức x^2+xy+y^2=x^2y^2.

Câu 9 ( 3 điểm )

Đường tròn tâm O nội tiếp \bigtriangleup ABC

tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F. Đường tròn tâm T bàng tiếp trong \widehat{BAC} của \bigtriangleup ABC tiếp xúc với cạnh BC và phần kéo dài của các cạnh AB, AC tương ứng tại các điểm P, M, N.

a/ Chứng minh rằng: BP=CD.

b/ Trên đường thẳng MN ta lấy các điểm I và K sao cho CK//AB, BI//AC. Chứng minh rằng các tứ giác BICE và BKCF là các hình bình hành.

c/ Gọi (S) là đường tròn đi qua ba điểm I, K, P. Chứng minh rằng (S) tiếp xúc với các đường thẳng BC, BI, CK

Câu 10 ( 1 điểm )

Số thực x thay đổi và thỏa mãn điều kiện x^2+\left(3-x\right)^2\ge 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=x^4+\left(3-x\right)^4+6x^2\left(3-x\right)^2

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO THPT (2007-2008) – THỪA THIÊN HUẾ

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO THPT (2007-2008) – THỪA THIÊN HUẾ

Bài 1: (1,75 điểm)

a/ Không sử dụng máy tính bỏ túi, tính giá trị của biểu thức:

A=\dfrac{3-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}+\dfrac{6}{3+\sqrt{3}}

b/ Rút gọn biểu thức

B=\left(\dfrac{1}{x+\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\right):\dfrac{\sqrt{x}-1}{x+2\sqrt{x}+1}, x>0,x\ne 0

Bài 2: (2,25 điểm)

Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm B(4;0) vàC(-1;4).

a/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm C và song song với đường thẳng y=2x-3. Xác định tọa độ giao điểm A của đường thẳng (d) với trục hoành Ox.

b/ Xác định các hệ số a và b biết đồ thị hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm B và C. Tính góc tạo bởi đường thẳng BC và trục hoành Ox (làm tròn đến phút).

c/ Tính chu vi của tam giác ABC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét) (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Bài 3: (2 điểm)

a/ Tìm hai số u và v biết: u+v=1; uv= -42 và u >v.

b/ Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km. Một xuồng máy đi xuôi dòng từ bến A đến bến B, nghỉ 30 phút tại bến B rồi quay trở lại đi ngược dòng 25 km để đến bến C. Thời gian kể từ lúc đi đến lúc quay trở lại đến bến C hết tất cả là 8 giờ. Tính vận tốc xuồng máy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc nước chảy là 1 km/h.

Bài 4: (2,5 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn (khác A và B). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax tại D và cắt By tại E.

a/ Chứng minh rằng \bigtriangleup ODE là tam giác vuông.

b/ Chứng minh rằng: AD.BE=R^2.

c/ Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho diện tích của tứ giác ADEB nhỏ nhất.

Bài 5: (1,5 điểm)

Một cái xô dạng hình nón cụt có bán kính hai đáy là 19 cm và 9 cm, độ dài đường sinh l=26cm.

Trong xô đã chứa sẵn lượng nước có chiều cao 18 cm so với đáy dưới (xem hình vẽ).

a/ Tính chiều cao của cái xô.

b/ Hỏi phải đổ thêm bao nhiêu lít nước để đầy xô ?

ĐỀ THI VÀO 10 THAM KHẢO – ĐỀ SỐ 13

ĐỀ THI VÀO 10 THAM KHẢO – ĐỀ SỐ 13

Bài 1.

Cho biểu thức:

P=\left(\dfrac{3x+\sqrt{9x}-3}{x+\sqrt{x}-2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}-2\right):\dfrac{1}{x-1}

a) Rút gọn P.

b) Tìm các số tự nhiên x để \dfrac{1}{P} là số tự nhiên.

c) Tính P khi x=4-2\sqrt{3}.

Bài 2.

Giải hệ phương trình:

\left\{\begin{array}{c}{(x^2+xy+y^2)\sqrt{x^2+y^2}=185}\\{(x^2+xy-y^2) \sqrt{x^2+y^2}=65}\end{array}\right.

Bài 3.

Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong thời gian đã định. Nhưng thực tế xí nghiệp lại giao 80 sản phẩm nên mặc dù người đó đã làm mỗi giờ thêm 1 sản phẩm mà thời gian hoàn thành công việc vẫn chậm hơn so với dự định 12 phút. Tính năng suất dự định, biết rằng mỗi giờ người đó làm không quá 20 sản phẩm.

Bài 4.

Cho \bigtriangleup ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD. M là điểm bất kì trên đoạn AD. Gọi N, P lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC; H là hình chiếu của N trên DP. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C, kẻ Bx vuông góc BA và gọi E là giao điểm của DP và Bx.

a) Chứng minh rằng: \bigtriangleup EBN vuông cân.

b) Chứng minh rằng: 3 điểm B, M, H thẳng hàng và tứ giác AHDB nội tiếp.

c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích \bigtriangleup AHB là lớn nhất.

d) Chứng minh rằng: Đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đoạn AD.

Bài 5.

Tìm GTNN của biểu thức: A=\dfrac{5-3x}{\sqrt{1-x^2}}

ĐỀ THI VÀO 10 THAM KHẢO – ĐỀ SỐ 12

ĐỀ THI VÀO 10 THAM KHẢO – ĐỀ SỐ 12

Bài 1.

Cho biểu thức:

P=\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}

a) Rút gọn P.

b) Tính P khi x=33-8\sqrt{2}

c) Chứng minh rằng: P<\dfrac{1}{3}

Bài 2.

Giải hệ phương trình:

\left\{\begin{array}{c}{2x^2-15xy+4y^2-12x+45y-24=0}\\{x^2+xy-2y^2-3x-3y=0}\end{array}\right.

Bài 3.

Hai canô khởi hành cùng một lúc và đi từ A đến B. Canô thứ nhất chạy với vận tốc 20 km/h. Trên đường đi, canô thứ hai dừng lại 40 phút sau đó tiếp tục chạy. Tính chiều dài AB, biết rằng hai canô đến B cùng một lúc và canô thứ hai chạy nhanh hơn canô thứ nhất 4 km mỗi giờ.

Bài 4.

Cho đường tròn (O; R) và AB < 2R cố định. Một điểm M di chuyển trên cung lớn AB (M khác A và B). Gọi I là trung điểm của AB; (T) là đường tròn đi qua M và tiếp xúc với AB tại A. Đường thẳng MI cắt (O) và (T) lần lượt tại N và P. Chứng minh rằng:

a) IA^2=IP.IM.

b) Tứ giác ANBP là hình bình hành.

c) IB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp \bigtriangleup MBP

d) Khi M di chuyển trên cung lớn AB thì trọng tâm G của \bigtriangleup PAB chạy trên một cung tròn cố định.

Bài 5.

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

A=x\left(x^2-6\right) biết 0\le x\le 3.


ĐỀ THI VÀO 10 THAM KHẢO – ĐỀ SỐ 11

ĐỀ THI VÀO 10 THAM KHẢO – ĐỀ SỐ 11

Bài 1.

Cho biểu thức:

P=\left(\dfrac{2x\sqrt{x}+x-\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}-\dfrac{x+\sqrt{x}}{x-1}\right).\dfrac{x-1}{2x+\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-1}

a) Rút gọn P.

b) Với giá trị nào của x thì P nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Bài 2.

Giải hệ phương trình:

\left\{\begin{array}{c}{x^2+y+\dfrac{1}{4}=0}\\{x+y^2+\dfrac{1}{4}=0}\end{array}\right.

Bài 3.

Một người mua hai loại mặt hàng A và B. Nếu tăng giá mặt hàng A thêm 10% và giá mặt hàng B thêm 20% thì người đó phải trả tất cả là 232 nghìn đồng. Nhưng nếu giảm giá cả hai loại mặt hàng 10% thì người đó phải trả tất cả 180 nghìn đồng. Tính giá tiền mỗi loại hàng lúc đầu.

Bài 4.

Cho \bigtriangleup ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O); M là điểm bất kì trên đáy BC. Qua M vẽ đường tròn (D) tiếp xúc với AB tại B và đường tròn (E) tiếp xúc với AC tại C. Gọi N là giao điểm thứ hai của (D) và (E).

a) Chứng minh rằng: N thuộc (O).

b) Chứng minh rằng: MN luôn đi qua A và tích AM.AN không đổi khi M di chuyển trên cạnh BC của \bigtriangleup ABC .

c) Chứng minh rằng: Tổng hai bán kính của hai đường tròn (D) và (E) có giá trị không đổi.

d) Tìm quỹ tích các trung điểm I của đoạn DE.

Bài 5.

Cho biểu thức E=99999+66666\sqrt{3}

Chứng minh rằng: Không tồn tại các số nguyên A, B để E=\left(A+B\sqrt{3}\right)^2

ĐỀ THI VÀO 10 THAM KHẢO – ĐỀ SỐ 10

ĐỀ THI VÀO 10 THAM KHẢO – ĐỀ SỐ 10

Bài 1.

Cho biểu thức:

P=\left(1+\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}\right):\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+\sqrt{x}-x-1}\right)-1

a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P.

b) Tìm x nguyên để Q=P-\sqrt{x} nhận giá trị nguyên.

Bài 2.

Giải hệ phương trình:

\left\{\begin{array}{c}{x^2+y^2=11}\\{x+xy+y=3+4\sqrt{2}}\end{array}\right.

Bài 3.

Trong một buổi liên hoan một lớp mời 15 vị khách đến dự. Vì lớp đã có 40 học sinh nên phải kê thêm một dãy ghế nữa thì mới đủ chỗ ngồi. Biết rằng mỗi dãy ghế đều có số người ngồi như nhau và không ngồi quá 5 người. Hỏi lớp học lúc đầu có bao nhiêu dãy ghế ?

Bài 4.

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. M là một điểm bất kì trên cung AB (khác A, B). Gọi H là điểm chính giữa của cung AM. Kẻ tiếp tuyến Ax trên nửa mặt phẳng có chứa nửa đường tròn (O). BH cắt AM tại I và cắt Ax tại K; BM cắt AH tại S.

a) Chứng minh rằng: \bigtriangleup BAScân.

b) Chứng minh rằng: S thuộc cung tròn cố định và KS tiếp xúc với đường tròn cố định khi M di chuyển trên cung AB.

c) Đường tròn ngoại tiếp \bigtriangleup BIS cắt đường tròn (B; BA) tại điểm N. Chứng minh rằng: Đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5.

Cho m\ne 0 và phương trình: x^2-mx-\dfrac{1}{2m^2}=0

Chứng minh rằng: Phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt x_1,x_2x_1^4+x_2^4\ge 2+\sqrt{2}.

ĐỀ THI VÀO 10 THAM KHẢO – ĐỀ SỐ 9

ĐỀ THI VÀO 10 THAM KHẢO – ĐỀ SỐ 9

Bài 1.

Cho biểu thức: P=\left(\dfrac{a+3\sqrt{a}+2}{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}-\dfrac{a+\sqrt{a}}{a-1}\right):\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}\right)

a) Rút gọn P.

b) Tìm a để \dfrac{1}{P}-\dfrac{\sqrt{a}+1}{8}\ge1

Bài 2.

Cho hàm số: y=2x^2 (1)

a) Vẽ đồ thị hàm số (1) và tìm trên parabol điểm cách đều hai trục tọa độ.

b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = mx – 1 cắt parabol tại hai điểm phân biệt.

c) Viết phương trình đường thẳng qua điểm N(0; – 2) và tiếp xúc với parabol.

Bài 3.

Tìm một số có ba chữ số sao cho khi ta lấy chữ số hàng đơn vị đặt về bên trái của số gồm hai chữ số còn lại ta được một số mới có ba chữ số và lớn hơn chữ số đầu 765 đơn vị.

Bài 4.

Cho \bigtriangleup ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Điểm M bất kì thuộc cung BC nhỏ. Kẻ MA_1,MB_1,MC_1 lần lượt vuông góc với BC, CA, AB.

a) Kể tên các tứ giác nội tiếp trên hình vẽ và giải thích.

b) Chứng minh rằng: 3 điểm A_1,B_1,C_1 thẳng hàng (đường thẳng Simson).

c) Tìm vị trí của điểm M để B_1C_1 lớn nhất.

d*) Gọi A_2,B_2,C_2 lần lượt là các điểm đối xứng của M qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

-A_2,B_2,C_2 thẳng hàng (đường thẳng Steiner).

-Đường thẳng chứa ba điểm A_2,B_2,C_2 luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5.

Cho ba số dương a, b, c, đều nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng: Có ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau là sai:

a\left(1-b\right)>\dfrac{1}{4};b\left(1-c\right)>\dfrac{1}{4};c\left(1-a\right)>\dfrac{1}{4}

ĐỀ THI VÀO 10 THAM KHẢO – ĐỀ SỐ 8

ĐỀ THI VÀO 10 THAM KHẢO – ĐỀ SỐ 8

Bài 1.

Cho biểu thức: P=\dfrac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}

a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

c) Tìm x để Q=\dfrac{2\sqrt{x}}{P} nhận giá trị nguyên.

Bài 2.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y=-x^2 và đường thẳng (d) đi qua điểm I(0; – 1), có hệ số góc k.

a) Viết phương trình đường thẳng (d).

b) Chứng minh rằng: Với mọi giá trị của k, đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi x_1,x_2 là hoành độ của A và B. Chứng minh rằng: |x_1-x_2|\ge2

Bài 3.

Hai bến sông A và B cách nhau 126 km. Một tàu thuỷ khởi hành từ A xuôi dòng về B. Cùng lúc đó có một đám bèo trôi tự do theo cùng chiều với tàu. Khi tàu đến B liền quay ngay về và khi còn cách A một khoảng 28 km thì gặp lại đám bèo trên. Tính vận tốc riêng của tàu thuỷ và vận tốc của dòng nước, biết rằng vận tốc của tàu thuỷ lớn hơn vận tốc của dòng nước 14km/h.

Bài 4.

Cho \bigtriangleup ABC nhọn, trực tâm H. Vẽ hình bình hành BHCE và D là điểm đối xứng của H qua BC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp \bigtriangleup ABC

a) Chứng minh rằng: 5 điểm A, B, D, E, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi I là trung điểm của BC và F là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng: 3 điểm O, I, F thẳng hàng.

c) Gọi G là giao điểm của HO và AI. Chứng minh rằng: G là trọng tâm của \bigtriangleup ABC.

d) Giả sử OH // BC, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa cotgB và cotgC của \bigtriangleup ABC.

Bài 5.

Tìm cặp số (a; b) thỏa mãn đẳng thức: \sqrt{a-1}b^2=b-\sqrt{a-1} sao cho a đạt GTLN.

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.